Question

14．如图所示，已知AB是⊙O的直径，C为圆上任意一点，过C的切线分别与过A，B两点的切线交于P，Q．求证：AB²=4AP•BQ．

Answer 1

分析 如图所示，过P作BQ的垂线PD，垂足为D，证明四边形ABDP为矩形，PQ=AP+BQ，AP=BD，AB=PD，在Rt△PQD中，利用勾股定理得：PQ²=PD²+QD²，化简即可证明结论．

解答 证明：如图所示，过P作BQ的垂线PD，垂足为D．
∵AP，BQ，PQ切⊙O于A，B，C，
∴∠A=∠B=90°，AP=PC，CQ=BQ．
∴四边形ABDP为矩形，PQ=AP+BQ，AP=BD，AB=PD．
在Rt△PQD中，利用勾股定理得：PQ²=PD²+QD²，
∴（AP+BQ）²=AB²+（BQ-AP）²．
∴AB²=4AP•BQ．

点评 本题考查圆中切线的性质，考查勾股定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．