Question

9．定义：分子为1且分母为正整数的分数为单位分数，我们可以把1拆为若干个不同的单位分数之和．如：1=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{6}$，1=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{12}$，1=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{12}$+$\frac{1}{20}$，以此类推，可得：1=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{12}$+$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{30}$+$\frac{1}{42}$+$\frac{1}{56}$+$\frac{1}{72}$+$\frac{1}{90}$+$\frac{1}{110}$+$\frac{1}{132}$+$\frac{1}{156}$，其中a＜b，a，b∈N^*，设1≤x≤a，1≤y≤b，则$\frac{x+y+4}{x+2}$的最小值为（　　）

• A． $\frac{25}{3}$
• B． $\frac{23}{7}$
• C． $\frac{8}{7}$
• D． $\frac{6}{5}$

Answer 1

分析 根据1=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{12}$+$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{30}$+$\frac{1}{42}$+$\frac{1}{56}$+$\frac{1}{72}$+$\frac{1}{90}$+$\frac{1}{110}$+$\frac{1}{132}$+$\frac{1}{156}$，结合裂项相消法，可得 $\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=$\frac{a+b}{ab}$=$\frac{33}{260}$，解得a，b值，可得答案．

解答 解：∵2=1×2，
6=2×3，
30=5×6，
42=6×7，
56=7×8，
72=8×9，
90=9×10，
110=10×11，
132=11×12，
∵1=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{12}$+$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{30}$+$\frac{1}{42}$+$\frac{1}{56}$+$\frac{1}{72}$+$\frac{1}{90}$+$\frac{1}{110}$+$\frac{1}{132}$+$\frac{1}{156}$，
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=$\frac{a+b}{ab}$=$\frac{33}{260}$，∴a=13，b=20，
则$\frac{x+y+4}{x+2}$=1+$\frac{y+2}{x+2}$，
∵1≤x≤13，1≤y≤20，
∴y=1，x=13时，$\frac{x+y+4}{x+2}$的最小值为$\frac{6}{5}$，
故选：D．

点评 本题考查归纳推理，考查学生的计算能力，确定a，b的值是关键．