Question

1．某校高三共有男生600名，从所有高三男生中随机抽取40名测量身高（单位：cm）作为样本，得到频率分布表与频率分布直方图（部分）如表：

分组	频数	频率
[150，160）	2
[160，170）	n1	f1
[170，180）	14
[180，190）	n2	f2
[190，200]	6

（Ⅰ）求n₁、n₂、f₁、f₂；
（Ⅱ）试估计身高不低于180cm的该校高三男生人数，并说明理由；
（Ⅲ）从抽取的身高不低于185cm的男生中任取2名参加选拔性测试，已知至少有一个身高不低于190cm的学生的概率为$\frac{9}{11}$，求抽取身高不低于185cm的男生人数．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由频率分布表得，身高在[180，190）之间的频率为0.25，由此能求出n₁、n₂、f₁、f₂．
（Ⅱ）身高在[190，200）的频率为0.15，身高不低于180cm的频率为0.4，由此可估计该校高三男生身高不低于180cm的人数．
（Ⅲ）设身高在[185，190）之间的男生有n人，从[185，200）中任取两人，共有${C}_{n+6}^{2}$种取法，满足条件的取法为${C}_{n}^{1}{C}_{6}^{1}+{C}_{6}^{2}$，由此利用至少有一个身高不低于190cm的学生的概率为$\frac{9}{11}$，能求出抽取身高不低于185cm的男生人数．

解答 解：（Ⅰ）由频率分布表得，身高在[180，190）之间的频率为0.25，
∴f₂=0.25，
∴n₂=40×0.25=10（人），
n₁=40-2-14-10-6=8（人），
∴f₁=$\frac{8}{40}=0.20$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，身高在[190，200）的频率为$\frac{6}{40}=0.15$，
身高不低于180cm的频率为0.25+0.15=0.4，
故可估计该校高三男生身高不低于180cm的人数为：
600×0.4=240（人），
故身高不低于180cm的男生有240人．
（Ⅲ）设身高在[185，190）之间的男生有n人，
从[185，200）中任取两人，共有${C}_{n+6}^{2}$种取法，
满足条件的取法为${C}_{n}^{1}{C}_{6}^{1}+{C}_{6}^{2}$，
∵至少有一个身高不低于190cm的学生的概率为$\frac{9}{11}$，
∴$\frac{{C}_{n}^{1}{C}_{6}^{1}+{C}_{6}^{2}}{{C}_{n+6}^{2}}$=$\frac{9}{11}$，
解得n=5，
∴抽取身高不低于185cm的男生人数为11人．

点评 本题考查频率分布直方图、茎叶图的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．