题目内容
已知函数f（x）=
sinωx+cosωx+c（ω＞0，x∈R，c是实数常数）的图象上的一个最高点（
，1），与该最高点最近的一个最低点是（
，-3）．
（1）求函数f（x）的解析式及其单调增区间；
（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
•
=-
ac，角A的取值范围是区间M，当x∈M时，试求函数f（x）的值域．
| 3 |
| π |
| 6 |
| 2π |
| 3 |
（1）求函数f（x）的解析式及其单调增区间；
（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
| AB |
| BC |
| 1 |
| 2 |
考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象
专题：三角函数的图像与性质
分析：（1）利用三角恒等变换可求得f（x）=2sin（ωx+
）+c，依题意，解方程组
即可求ω与c的值，从而可得函数f（x）的解析式及其单调增区间；
（2）利用向量的数量积易求B=
，M=（0，
），利用正弦函数的单调性与最值即可求得函数f（x）的值域．
| π |
| 6 |
|
（2）利用向量的数量积易求B=
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
解答：
解：（1）∵f（x）=
sinωx+cosωx+c，
∴f（x）=2sin（ωx+
）+c．
∵（
，1）和（
，-3）分别是函数图象上相邻的最高点和最低点，
∴
，解得
，
∴f（x）=2sin（2x+
）-1．
由2kπ-
≤2x+
≤2kπ+
，k∈Z，解得kπ-
≤x≤kπ+
，k∈Z，
∴函数f（x）的单调递增区间是[kπ-
，kπ+
]，k∈Z．
（2）∵在△ABC中，
•
=-
ac，
∴accos（π-B）=-
ac，又0＜B＜π，
∴B=
，
∴A+C=
，C＞0，于是0＜A＜
，即M=（0，
），
当x∈M时，
＜2x+
＜
，
∴-1＜sin（2x+
）≤1，
∴-3＜f（x）≤1，即函数f（x）的值域为（-3，1]．
| 3 |
∴f（x）=2sin（ωx+
| π |
| 6 |
∵（
| π |
| 6 |
| 2π |
| 3 |
∴
|
|
∴f（x）=2sin（2x+
| π |
| 6 |
由2kπ-
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
∴函数f（x）的单调递增区间是[kπ-
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
（2）∵在△ABC中，
| AB |
| BC |
| 1 |
| 2 |
∴accos（π-B）=-
| 1 |
| 2 |
∴B=
| π |
| 3 |
∴A+C=
| 2π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
当x∈M时，
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 3π |
| 2 |
∴-1＜sin（2x+
| π |
| 6 |
∴-3＜f（x）≤1，即函数f（x）的值域为（-3，1]．
点评：本题考查三角恒等变换及其应用，着重考查正弦函数的图象与性质，考查方程思想与运算求解能力，属于中档题．
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