Question

已知f（x）=log_ax，g（x）=2log_a（2x+t-2）（a＞0，a≠1，t∈R）
（1）当t=4，x∈[1，2]，且F（x）=g（x）-f（x）有最小值2时，求a的值；
（2）当0＜a＜1，x∈[1，2]时，有f（x）≥g（x）恒成立，求实数t的取值范围；
（3）当0＜a＜1，存在x∈[1，2]，使f（x）≥g（x）成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）将t=4代入F（x），求出其定义域，先判断其为增函数，根据题意函数F（x）=g（x）-f（x）有最小值2，列出等式，求a的值；
（2）当0＜a＜1时，若f（x）≥g（x）对x∈[1，2]恒成立，即loga

x

≥log_a（2x+t-2）对x∈[1，2]恒成立，即

x

≤2x+t-2对x∈[1，2]恒成立，即t≥

x

-2x+2对x∈[1，2]恒成立，求出当x∈[1，2]时，y=

x

-2x+2的最大值，可得答案；
（3）当0＜a＜1时，若存在x∈[1，2]，使f（x）≥g（x）成立，即

x

≤2x+t-2在x∈[1，2]上有解，即t≥

x

-2x+2在x∈[1，2]上有解，求出当x∈[1，2]时，y=

x

-2x+2的最小值，可得答案；

解答： 解：（1）由题意，t=4时，F（x）=g（x）-f（x）=log_a

(2x+2)2

x

，x∈[1，2]，
令h（x）=

(2x+2)2

x

=4（x+

1

x

+2），
由对勾函数的图象和性质可得：y=x+

1

x

在[1，2]上为增函数，
∴x+

1

x

∈[2，

5

2

]，
∴h（x）∈[16，18]，
当0＜a＜1时，F（x）的最小值为：log_a18=2，解得a=3

2

（舍去），
当a＞1时，F（x）的最小值为：log_a16=2，解得a=4
（2）当0＜a＜1时，
∵f（x）≥g（x）对x∈[1，2]恒成立，
∴loga

x

≥log_a（2x+t-2）对x∈[1，2]恒成立，
即

x

≤2x+t-2对x∈[1，2]恒成立，
即t≥

x

-2x+2对x∈[1，2]恒成立，
当x∈[1，2]时，y=

x

-2x+2=-2（

x

-

1

4

）²+

17

8

，在x=1时取最大值1，
故t≥1；
（3）当0＜a＜1时，
存在x∈[1，2]，使f（x）≥g（x）成立，
即

x

≤2x+t-2在x∈[1，2]上有解，
即t≥

x

-2x+2在x∈[1，2]上有解，
当x∈[1，2]时，y=

x

-2x+2=-2（

x

-

1

4

）²+

17

8

在x=2时取最小值

2

-2，
故t≥

2

-2；

点评：此题主要考查对数函数的性质及其应用，解题的过程中利用到了转化的思想，考查的知识点比较大，是一道难题；