Question

8．设数列{a_n}满足a_n+1=$\frac{4{a}_{n}-1}{{a}_{n}+2}$，当首项a₁=$\frac{7}{10}$时，此数列只有10项．

Answer 1

分析 把已知数列递推式变形，得到${a}_{n}=\frac{9}{4-{a}_{n+1}}-2$．由数列{a_n}只有10项，可得a₁₀=-2．依次由变形后的递推式求得首项得答案．

解答 解：由a_n+1=$\frac{4{a}_{n}-1}{{a}_{n}+2}$=$\frac{4（{a}_{n}+2）-9}{{a}_{n}+2}$=$4-\frac{9}{{a}_{n}+2}$，得
${a}_{n}=\frac{9}{4-{a}_{n+1}}-2$．
若数列{a_n}只有10项，则a₁₀=-2．
∴${a}_{9}=\frac{9}{6}-2=-\frac{1}{2}$，${a}_{8}=\frac{9}{\frac{9}{2}}-2=0$，${a}_{7}=\frac{9}{4}-2=\frac{1}{4}$，
${a}_{6}=\frac{9}{\frac{15}{4}}-2=\frac{2}{5}$，${a}_{5}=\frac{9}{\frac{18}{5}}-2=\frac{1}{2}$，${a}_{4}=\frac{9}{\frac{7}{2}}-2=\frac{4}{7}$，
${a}_{3}=\frac{9}{\frac{24}{7}}-2=\frac{5}{8}$，${a}_{2}=\frac{9}{\frac{27}{8}}-2=\frac{2}{3}$，${a}_{1}=\frac{9}{\frac{10}{3}}-2=\frac{7}{10}$．
故答案为：$\frac{7}{10}$．

点评 本题考查数列递推式，考查计算能力，对题意的理解是解答该题的关键，是中档题．