Question

19．如图，三棱柱ABC-A′B′C′，BC=1，BC′=1，CC′=$\sqrt{2}$，面ABC⊥面BCC′B′，E、F分别为棱AB、CC′的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥面A′BC′；
（Ⅱ）求证：面ABC′⊥面A′B′C′．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取A′B中点M，连接EM、C′M，由已知推导出FC′$\underset{∥}{=}$EM，由此能证明EF∥面A′BC′．
（Ⅱ）由勾股定理得C′B⊥BC，从而C′B⊥面ABC，由此能证明面ABC′⊥面A′B′C′．

解答 证明：（Ⅰ）取A′B中点M，连接EM、C′M，
又∵E为AB中点，∴EM$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AA′，
∵AA′$\underset{∥}{=}$BB′$\underset{∥}{=}$CC′，F为CC′中点，∴FC′$\underset{∥}{=}$EM，
∴EMC′F为平行四边形，∴EF∥C′M，
又EF?平面A′BC′，C′M?面A′BC′，∴EF∥面A′BC′．
（Ⅱ）∵BC=1，BC′=1，CC′=$\sqrt{2}$，
∴C′B⊥BC，
∵面ABC⊥面BCC′B′，且面ABC∩面BCC′B′=BC，
∴C′B⊥面ABC，
∵平面ABC∥平面A′B′C′，∴C′B⊥平面A′B′C′，
∵C′B?平面ABC′，∴面ABC′⊥面A′B′C′．

点评 本题考查线面平行的证明，考查面面垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．