Question

19．如图，△ABC是等边三角形，△ACD是等腰直角三角形，∠ACD=90°，BD交AC于E，AB=$\sqrt{2}$
（Ⅰ）求∠BEA的度数；
（Ⅱ）求BD及AE的长．

Answer 1

分析 （1）∠BCD=90°+60°=150°，△BCD是等腰三角形，得出∠DBC=15°，根据三角形外角的性质得出∠BEA=75°；
（2）在△BCD中，利用余弦定理解出BD，在△ABE中利用正弦定理解出AE．

解答 解：（Ⅰ）因为△ABC是等边三角形，△ACD是等腰直角三角形，∠ACD=90°
∴∠BCD=90°+60°=150°，
∵CB=AC=CD，∴∠CBD=15°．
所以∠BEA=∠CBE+∠BCE=15°+60°=75°．
（Ⅱ）在△BCD中，由余弦定理得：BD²=CB²+CD²-2CB•CD•cos∠BCD=$2+2-2\sqrt{2}•\sqrt{2}•（-\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$=$4+2\sqrt{3}$=${（\sqrt{3}+1）^2}$
∴$BD=\sqrt{3}+1$．
在△ABE中，由正弦定理得：$\frac{AE}{sin∠ABE}=\frac{AB}{sin∠AEB}$
即$\frac{AE}{{sin（{{60}°}-{{15}°}）}}=\frac{{\sqrt{2}}}{{sin{{75}°}}}$．
故$AE=\frac{{\sqrt{2}sin{{45}°}}}{{sin{{75}°}}}$=$\frac{{\sqrt{2}×\frac{{\sqrt{2}}}{2}}}{{\frac{{\sqrt{6}+\sqrt{2}}}{4}}}$=$\sqrt{6}-\sqrt{2}$．

点评 本题考查了利用正余弦定理解三角形，寻找合适的三角形是解题关键．