Question

7．设函数f（x）对任意实数x满足f（x）=-f（x+2），且当0≤x≤2时，f（x）=x（2-x），若关于x的方程f（x）=kx有3个不等的实数解，则k的取值范围是（10-4$\sqrt{6}$，2）．

Answer 1

分析 先确定函数f（x）为周期函数，再将问题等价方程f（x）仅有唯一实数根，并结合函数的图象与判别式得出k的取值范围．

解答 解：∵f（x）=-f（x+2），∴f（x+4）=f（x），
即f（x）是以4为周期的函数，
因为，当x∈[0，2]时，f（x）=x（2-x），
所以，x∈[-2，0]时，x+2∈[0，2]，
所以，f（x）=-f（x+2）=x（x+2），
∴f（x）在一个周期内的解析式为f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x（2-x），x∈[0，2]}\\{x（2+x），x∈[-2，0）}\end{array}\right.$，如右图，
依题意，方程f（x）=kx有三个不等的实根，
则该方程一根为负，一根为正，一根为0，即f（x）=kx只有唯一一个正实数根，
当x∈[4，6]时，x-4∈[0，2]，
所以，f（x）=f（x-4）=（x-4）（6-x），
令（x-4）（6-x）=kx，整理得，x²+（k-10）x+24=0，
由△=0，解得k=10-4$\sqrt{6}$（舍k=10+4$\sqrt{6}$），
此时，直线y=（10-4$\sqrt{6}$）x与f（x）的图象相切，共有5个交点，如图蓝色直线，
所以，k＞10-4$\sqrt{6}$，------------------①
另一方面，函数f（x）=x（2-x）在x=0处的导数为f'（0）=2，
即直线y=2x与f（x）的图象只有一个交点，如图红色直线，
所以，k＜2，------------------------②
当2＜x＜4时，-2＜x-4＜0，f（x-4）=（x-4）（x-2），可得f（x）=f（x-4）=x²-6x+8，
由x²-6x+8=kx，可得判别式为（6+k）²-32=0，
解得k=4$\sqrt{2}$-6（-4$\sqrt{2}$-6舍去），
当直线y=kx（k＜0）与y=f（x）相切可得4$\sqrt{2}$-6．
综合以上讨论得，k∈（10-4$\sqrt{6}$，2）．
故答案为：（10-4$\sqrt{6}$，2）∪{4$\sqrt{2}$-6}．

点评 本题主要考查了抽象函数及其应用，涉及函数周期性的判断与应用，函数的图象与性质，以及函数零点个数的判断，属于中档题．