Question

4．在二项式${（\root{3}{x}-\frac{1}{{2\root{3}{x}}}）^n}$的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列．
（1）求展开式的第四项；
（2）求展开式的常数项；
（3）求展开式中各项的系数和．

Answer 1

分析 （1）根据由于展开式的通项为${T_{r+1}}={（-\frac{1}{2}）^r}C_n^r{x^{\frac{n-2r}{3}}}$，结合前三项系数的绝对值成等差数列，求得n=8，从而求得展开式的第四项．
（2）在展开式中，令x的幂指数等于零，求得r的值，可得常数项．
（3）在二项式${（\root{3}{x}-\frac{1}{{2\root{3}{x}}}）^n}$的展开式中，令x=1，可得各项系数和．

解答 解：（1）由于展开式的通项为${T_{r+1}}={（-\frac{1}{2}）^r}C_n^r{x^{\frac{n-2r}{3}}}$，r=0，1，2，…，n，
由已知可得：${（-\frac{1}{2}）^0}C_n^0，（\frac{1}{2}）C_n^1，{（\frac{1}{2}）^2}C_n^2$成等差数列，∴$2×\frac{1}{2}C_n^1=1+\frac{1}{4}C_n^2$，
∴n=8，${T_4}=-7{x^{\frac{2}{3}}}$．
（2）令x的幂指数$\frac{8-2r}{3}$=0，求得r=4，可得常数项为 ${T_5}=\frac{35}{8}$．
（3）在二项式${（\root{3}{x}-\frac{1}{{2\root{3}{x}}}）^n}$的展开式中，令x=1，各项系数和为$\frac{1}{256}$．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．