Question

徐州古称彭城，三面环山，历来是兵家必争之地，拥有云龙山、户部山、子房山和九里山等四大名山．一位游客来徐州游览，已知该游客游览云龙山的概率为

2

3

，游览户部山、子房山和九里山的概率都是

1

2

，且该游客是否游览这四座山相互独立．
（1）求该游客至多游览一座山的概率；
（2）用随机变量X表示该游客游览的山数，求X的概率分布和数学期望E（X）．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,互斥事件的概率加法公式

专题：计算题,概率与统计

分析：（1）利用相互独立事件的概率公式，即可求该游客至多游览一座山的概率；
（2）随机变量X的可能取值为0，1，2，3，4，求出相应的概率，即可求X的概率分布和数学期望E（X）．

解答： 解：（1）记“该游客游览i座山”为事件A_i，i=0，1，
则P(A0)=(1-

2

3

)×(1-

1

2

)×(1-

1

2

)×(1-

1

2

)=

1

24

，P(A1)=

2

3

×(1-

1

2

)3+(1-

2

3

)×

C

1 3

×

1

2

×(1-

1

2

)2=

5

24

，
所以该游客至多游览一座山的概率为P(A0)+P(A1)=

1

24

+

5

24

=

1

4

．  …（4分）
（2）随机变量X的可能取值为0，1，2，3，4，P(X=0)=P(A0)=

1

24

，P(X=1)=P(A1)=

5

24

，P(X=2)=

2

3

×

C

1 3

×

1

2

×(1-

1

2

)2+(1-

2

3

)×

C

2 3

×(

1

2

)2×(1-

1

2

)=

3

8

，P(X=3)=

2

3

×

C

2 3

×(

1

2

)2×(1-

1

2

)+(1-

2

3

)×

C

3 3

×(

1

2

)3=

7

24

，P(X=4)=

2

3

×(

1

2

)3=

1

12

，
所以X的概率分布为

X	0	1	2	3	4
P	1 24	5 24	3 8	7 24	1 12

故E(X)=0×

1

24

+1×

5

24

+2×

9

24

+3×

7

24

+4×

2

24

=

13

6

．  …（10分）

点评：本题考查离散型随机变量的分布列、期望，考查n次独立重复试验中事件A发生k的概率计算公式，考查学生综合运用知识分析解决问题的能力，本题综合性强．