Question

如图，G为△OBC的重心，PQ为过重心的直线，交OB与OC于P，Q点．
①用

OP

，

OQ

表示

OG

；
②若

OP

=x

OA

，

OQ

=y

OB

，求证

1

x

+

1

y

为定值．

Answer 1

考点：向量加减混合运算及其几何意义

专题：平面向量及应用

分析：①由于点P、G、Q三点共线，利用向量共线定理可得：存在实数λ使得

PG

=λ

GQ

．化简即可得出．
②利用①的结论和重心定理、向量的平行四边形法则即可得出．

解答： ①解：∵点P、G、Q三点共线，∴存在实数λ使得

PG

=λ

GQ

．
∴

OG

-

OP

=λ(

OQ

-OG)，
化为

OG

=

1

1+λ

OP

+

λ

1+λ

OQ

.(λ∈[

1

2

，2])．
②证明：∵

OP

=x

OA

，

OQ

=y

OB

，
∴

OG

=

x

1+λ

OA

+

λy

1+λ

OB

，
又

OG

=

2

3

OM

=

2

3

×

1

2

(

OA

+

OB

)=

1

3

OA

+

1

3

OB

，
∴

x

1+λ

=

1

3

，

λy

1+λ

=

1

3

．
∴

1

x

+

1

y

=

3

1+λ

+

3λ

1+λ

=3为定值．

点评：本题考查了向量共线定理、重心定理、向量的平行四边形法则等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．