Question

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量

m

=（tanA+tanC，

3

），

n

=（tanAtanC-1，1），且

m

∥

n

．
（1）求角B；
（2）若b=2，求△ABC的面积的最大值．

Answer 1

考点：正弦定理,基本不等式

专题：解三角形

分析：（1）通过两向量平行，求得tanA和tanC的关系，求得tanB，进而求得B．
（2）利用余弦定理求得a和c的关系式，利用基本不等式的性质求得ac的最大值，进而利用三角形面积公式求得其最大值．

解答： 解：（1）∵m∥n，
∴tanA+tanC=

3

(tanAtanC-1)，
∴

tanA+tanC

1-tanAtanC

=-

3

，即tan(A+C)=-

3

，
∴tanB=-tan(A+C)=

3

，
∵B∈（0，π），
∴B=

π

3

．                     
（2）在△ABC中，由余弦定理有，cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

1

2

，
∴a²+c²=ac+4，
∵a²+c²≥2ac，
∴ac≤4，当且仅当a=c=2时，取等，
∴△ABC的面积S=

1

2

acsinB≤

3

4

×4=

3

，
故△ABC的面积的最大值为

3

．

点评：本题主要考查了余弦定理的运用，向量数量积，基本不等式的基本性质．考查了学生推理和运算的能力．