Question

已知函数f（x）=2x²+mx-2m-3
（1）若函数在区间（-∞，0）与（1，+∞）内各有一个零点，求实数m的取值范围；
（2）若不等式f（x）≥（3m+1）x-3m-11在x∈（

1

2

，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质,函数恒成立问题,函数零点的判定定理

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由f（x）=2x²+mx-2m-3图象开口向上，且在区间（-∞，0）与（1，+∞）内各有一零点，故

f(0)＜0 f(1)＜0

，解得实数m的取值范围；
（2）解法一：若不等式f（x）≥（3m+1）x-3m-11在x∈（

1

2

，+∞）上恒成立，则2x²-（2m+1）x+m+8≥0在x∈（

1

2

，+∞）上恒成立，构造函数g(x)=2x2-(2m+1)x+m+8，(x＞

1

2

)利用二次函数的图象和性质，可得答案；
解法二：若不等式f（x）≥（3m+1）x-3m-11在x∈（

1

2

，+∞）上恒成立，则m≤

2x2-x+8

2x-1

=x+

8

2x-1

，构造函数g(x)=x+

8

2x-1

，(x＞

1

2

)，结合对勾函数的图象和性质求出最值，可得答案．

解答： 解：（1）由f（x）=2x²+mx-2m-3图象开口向上，且在区间（-∞，0）与（1，+∞）内各有一零点，
故

f(0)＜0 f(1)＜0

，----------------（3分）
即

-2m-3＜0 -m-1＜0

，----------------（4分）
解得m＞-1，即实数的取值范围为（-1，+∞）；----------------（6分）
（2）方法一：不等式f（x）≥（3m-1）x-3m-11在x∈(

1

2

，+∞)上恒成立?2x²+mx-2m-3≥（3m-1）x-3m-11?2x²-（2m+1）x+m+8≥0----------------（7分）
取g(x)=2x2-(2m+1)x+m+8，(x＞

1

2

)
对称轴x=

2m+1

2

=m+

1

2

当m≤0时，对称轴x=m+

1

2

≤

1

2

∴g（x）在(

1

2

，+∞)上单调递增，g（x）＞g（2）=8＞0，
故m≤0满足题意----------------（9分）
当m＞0时，对称轴x=m+

1

2

＞

1

2

又g（x）≥0在(

1

2

，+∞)上恒成立，
故△=（2m+1）²-8（m+8）=4m²-4m-63=（2m+7）（2m-9）≤0
解得：-

7

2

≤m≤

9

2

，----------------（12分）
故0＜m≤

9

2

----------------（13分）
综上所述，实数的取值范围为(-∞，

9

2

]．----------------（14分）
方法二：不等式f（x）≥（3m-1）x-3m-11在x∈(

1

2

，+∞)上恒成立?2x²+mx-2m-3≥（3m-1）x-3m-11?m≤

2x2-x+8

2x-1

=x+

8

2x-1

----------------（9分）
取g(x)=x+

8

2x-1

，(x＞

1

2

)
由结论：定义在（0，+∞）上的函数h(x)=x+

a

x

，(a＞0)，当且仅当x=

a

时h（x）取得最小值2

a

．
故g(x)=x-

1

2

+

4

x- 1 2

+

1

2

≥2

4

+

1

2

=

9

2

----------------（12分）
当且仅当x-

1

2

=2，即x=

5

2

时函数g（x）取得最小值

9

2

．----------------（13分）
故m≤

9

2

，即实数的取值范围为(-∞，

9

2

]．----------------（14分）

点评：本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，函数恒成立问题，函数的零点，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．