Question

已知命题p：关于x的不等式x²+（a-1）x+1≤0的解集为空集，命题q：方程（a-1）x²+（3-a）y²=（a-1）（3-a）表示焦点在y轴上的椭圆，若命题￢q为真命题，p∨q为真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：简易逻辑

分析：若命题p为真命题：关于x的不等式x²+（a-1）x+1≤0的解集为空集，可得△＜0，解得-1＜a＜2．若命题q为真命题：方程（a-1）x²+（3-a）y²=（a-1）（3-a）表示焦点在y轴上的椭圆，方程化为

y2

a-1

+

x2

3-a

=1，则a-1＞3-a＞0．由于命题￢q为真命题，p∨q为真命题，可得q为假命题，p为真命题．解得即可．

解答： 解：若命题p为真命题：关于x的不等式x²+（a-1）x+1≤0的解集为空集，∴△＜0，即（a-1）²-4＜0，解得-1＜a＜3．
若命题q为真命题：方程（a-1）x²+（3-a）y²=（a-1）（3-a）表示焦点在y轴上的椭圆，方程化为

y2

a-1

+

x2

3-a

=1，∴a-1＞3-a＞0，解得2＜a＜3．
∵命题￢q为真命题，p∨q为真命题，∴q为假命题，p为真命题．
∴

-1＜a＜3 a≤2或a≥3

，解得-1＜a≤2．
∴实数a的取值范围是（-1，2]．

点评：本题考查了一元二次方程的实数解问题、椭圆的性质、简易逻辑的有关知识，属于中档题．