Question

17．已知$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$，$\overrightarrow c$在同一平面内，且$\overrightarrow a$=（-1，2）．
（1）若$\overrightarrow c$=（m-1，3m），且$\overrightarrow c$∥$\overrightarrow a$，求m的值；
（2）若|$\overrightarrow b$|=$\sqrt{5}$，且（$\overrightarrow a$-2$\overrightarrow b$）⊥$\overrightarrow a$，求向量$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角θ．

Answer 1

分析 （1）根据向量平行的条件即可求出m的值，
（2）先求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$\frac{5}{2}$，再根据向量的夹角公式即可求出．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow a$=（-1，2），$\overrightarrow c$=（m-1，3m），且$\overrightarrow c$∥$\overrightarrow a$，
∴-1×3m-2（m-1）=0，
解得m=$\frac{2}{5}$，
（2）|$\overrightarrow b$|=$\sqrt{5}$，|$\overrightarrow a$|=$\sqrt{（-1）^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，且（$\overrightarrow a$-2$\overrightarrow b$）⊥$\overrightarrow a$，
∴（$\overrightarrow a$-2$\overrightarrow b$）•$\overrightarrow a$=|$\overrightarrow a$|²-2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$\frac{5}{2}$，
∴cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{\frac{5}{2}}{\sqrt{5}•\sqrt{5}}$=$\frac{1}{2}$，
∵0°≤θ≤180°，
∴θ=60°．

点评 本题考查了向量的平行和垂直的条件，以及向量的夹角公式，属于基础题．