Question

16．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a、b、c，且a•cosB+b•cosA=2c•cosB．
（1）求角B
（2）若$M=sinA（{\sqrt{3}cosA-sinA}）$，求M的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等变换、正弦定理求得cosB的值，可得B的值．
（2）利用正弦函数的定义域和值域，求得M的范围．

解答 解：（ 1）在△ABC中，a•cosB+b•cosA=2c•cosB，由正弦定理可得，
把边化角sinA•cosB+sinB•cosA=2sinC•cosB，即sin（A+B）=sinC=2sinC•cosB，
所以$cosB=\frac{1}{2}$，解得$B=\frac{π}{3}$．
（2）M=$f（A）=sinA（\sqrt{3}cosA-sinA）$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2A-\frac{1-cos2A}{2}$=$sin（{2A+\frac{π}{6}}）-\frac{1}{2}$．
由（1）得$B=\frac{π}{3}$，所以$A+C=\frac{2π}{3}$，$A∈（{0，\frac{2π}{3}}）$，
则$2A+\frac{π}{6}∈（{\frac{π}{6}，\frac{3π}{2}}）$．∴$sin（{2A+\frac{π}{6}}）∈（-1，1]$．
故 M=$f（A）∈（{-\frac{3}{2}，\frac{1}{2}}]$，即M的取值范围是$（{-\frac{3}{2}，\frac{1}{2}}]$．

点评 本题主要考查三角恒等变换、正弦定理的应用，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．