Question

1．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是函数$f（x）=\frac{1}{2}+{log_2}\frac{x}{1-x}$的图象上任意两点，且$\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}（{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}}）$，已知点M的横坐标为$\frac{1}{2}$，则M点的纵坐标为$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 根据$\overrightarrow{OM}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$）知M为线段AB的中点，利用中点坐标公式得出x₁+x₂=1，
求出y₁+y₂的值，即可得出点M的纵坐标．

解答 解：根据题意，$\overrightarrow{OM}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$），
∴M为线段AB的中点；
又因为M的横坐标为x=$\frac{1}{2}$，且A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$=$\frac{1}{2}$，即x₁+x₂=1，
∴y₁+y₂=（$\frac{1}{2}$+log₂$\frac{{x}_{1}}{1{-x}_{1}}$）+（$\frac{1}{2}$+log₂$\frac{{x}_{2}}{1{-x}_{2}}$）
=1+log₂（$\frac{{x}_{1}}{1{-x}_{1}}$•$\frac{{x}_{2}}{1{-x}_{2}}$）
=1+log₂$\frac{{{x}_{1}x}_{2}}{1-{（x}_{1}{+x}_{2}）{{+x}_{1}x}_{2}}$
=1+log₂1=1，
∴$\frac{1}{2}$（y₁+y₂）=$\frac{1}{2}$，
∴点M的纵坐标为y=$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了平面向量与中点坐标公式的应用问题，也考查了对数函数的应用问题，是综合题．