Question

设函数f（x）的定义域为D，若存在非零实数h，使得对于任意x∈M（M⊆D），有x+h∈D，且f（x+h）≥f（x），则称f（x）为M上的“h阶高调函数”．给出如下结论：
①若函数f（x）在R上单调递增，则存在非零实数h使f（x）为R上的“h阶高调函数”；
②若函数f（x）为R上的“h阶高调函数”，则f（x）在R上单调递增；
③若函数f（x）=x²为区间[-1，+∞）上的“h阶高调函数”，则h≥2；
④若函数f（x）在R上的奇函数，且x≥0时，f（x）=|x-1|-1，则f（x）只能是R上的“4阶高调函数”．
其中正确结论的序号为

 

．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：新定义

分析：根据“h阶高调函数”的定义，逐个命题进行判断即可得到答案．

解答： 解：对于①，∵函数f（x）在R上单调递增，故存在非零实数h＞0满足f（x+h）≥f（x），使f（x）为R上的“h阶高调函数”；①为真命题；
对于②，令函数f（x）=a（常数），则存在非零实数h，满足f（x+h）≥f（x），故f（x）为R上的“h阶高调函数”，但f（x）在R上不单调递增；②为假命题；
对于③，若函数f（x）=x²为区间[-1，+∞）上的“h阶高调函数”，则f（x+h）≥f（x），即（x+h）²≥x²在x∈[-1，+∞）上恒成立，化简得h²+2hx≥0，
∴

h＞0 h2-2h≥0

，解得h≥2，故③为真命题；
对于④，其图象如图，由图得，存在实数h≥4让其满足定义，则④为假命题．
故答案为：①③．

点评：解决本题的关键在于对新定义的理解，只要定义理解透彻，问题就解决了，这也是这一类型题目解决的关键．