Question

已知函数f（x）=plnx+（p-1）x²+1．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）当p=1时，f（x）≤kx恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（1）求出f（x）的导数，讨论当p＞1时，当p≤0时，当0＜p＜1时，求出单调区间即可；
（2）当p=1时，f（x）≤kx恒成立，?1+lnx≤kx?k≥

1+lnx

x

，令h（x）=

1+lnx

x

，则k≥h（x）_max，运用导数求出单调区间，进而得到最大值即可．

解答： 解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），
f′（x）=

p

x

+2（p-1）x=

2(p-1)x2+p

x

，
当p＞1时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）单调递增；
当p≤0时，f′（x）＜0，故f（x）在（0，+∞）单调递减；
当0＜p＜1时，令f′（x）=0，解得x=

-p 2(p-1)

．
则当0＜x＜

-p 2(p-1)

时，f′（x）＞0；x＞

-p 2(p-1)

，时，f′（x）＜0．
故f（x）在（0，

-p 2(p-1)

）单调递增，在（

-p 2(p-1)

，+∞）单调递减；
（2）因为x＞0，所以当p=1时，f（x）≤kx恒成立，
?1+lnx≤kx?k≥

1+lnx

x

，
令h（x）=

1+lnx

x

，则k≥h（x）_max，
因为h′（x）=

-lnx

x2

，由h′（x）=0得x=1，
且当0＜x＜1时，h′（x）＞0；当x＞1时，h′（x）＜0．
所以h（x）在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减．
所以h（x）_max=h（1）=1，
故k≥1．

点评：本题考查导数的运用：求单调区间，判断单调性，求最值，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题．