Question

求函数f（x）=x²-2x+3分别在区间[-1，0]，[2，3]，[0，3]，（-∞，0]，[2，+∞]，（-1，0]，（-1，0），（0，3）上的值域．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值

专题：函数的性质及应用

分析：首先把二次函数的一般式转化成顶点式，然后求出对称轴的方程，进一步根据自变量所在的定区间进行讨论，求出函数的值域

解答： 解：函数f（x）=x²-2x+3=（x-1）²+2
∴函数为开口方向向上，对称轴为：x=1的抛物线．
∴①x∈[-1，0]上是单调递减函数，函数的值域为f（x）∈[3，6]
②x∈[2，3]上是单调递增函数，函数的值域为f（x）∈[3，6]
③x∈[0，3]上不是单调函数，函数f（x）_min=f（1）=2，f（x）_max=f（3）=6，函数的值域为f（x）∈[2，6]
④x∈（-∞，0]上是单调递减函数，函数f（x）_min=f（0）=3
∴函数的值域为f（x）∈[3，+∞）
⑤x∈[2，+∞）上是单调递增函数，函数f（x）_min=f（2）=3
∴函数的值域为f（x）∈[3，+∞）
⑥x∈（-1，0]上是单调递减函数，函数的值域为f（x）∈[3，6）
⑦x∈（-1，0）上是单调递减函数，函数的值域为f（x）∈（3，6）
⑧x∈[0，3]上不是单调函数，函数f（x）_min=f（1）=2，f（x）_max=f（3）=6
∴函数的值域为f（x）∈[2，6）
故答案为：①x∈[-1，0]，函数的值域为f（x）∈[3，6]
②x∈[2，3]，函数的值域为f（x）∈[3，6]
③x∈[0，3]，函数的值域为f（x）∈[2，6]
④x∈（-∞，0]，函数的值域为f（x）∈[3，+∞）
⑤x∈[2，+∞），函数的值域为f（x）∈[3，+∞）
⑥x∈（-1，0]，函数的值域为f（x）∈[3，6）
⑦x∈（-1，0），函数的值域为f（x）∈（3，6）
⑧x∈[0，3]，函数的值域为f（x）∈[2，6）

点评：本题考查的知识点：二次函数的一般式与顶点式的互化，对称轴与定区间的关系进行讨论，进一步求出函数的值域．