Question

数列{a_n}中，a_n＜0，前n项和S_n=-

1

4

(an-1)2．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=

1

n(3-an)

（n∈N⁺），T_n=b₁+b₂+…+b_n，若对任意n∈N⁺，总存在m∈[-1，1]使T_n＜m²-2m+t+

1

2

成立，求出t的取值范围．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列的求和

专题：等差数列与等比数列,点列、递归数列与数学归纳法

分析：本题（1）将和式转化不项式，研究数列的通项公式，注意要分类讨论；
（2）先通过裂项法求和，再研究能成立问题，求出关于m的函数的最大值，得到本题结论．

解答： 解：（1）当n=1时，
∵S1=-

1

4

(a1-1)2=a1，
∴a₁=-1．
当n≥2时，
an=Sn-Sn-1=-

1

4

(an-1)2+

1

4

(an-1-1)2，
∴4an=-

a

2 n

+2an-1+

a

2 n-1

-2an-1+1．
∴a_n-a_n-1=-2（n≥2）．
∴数列{a_n}是等差数列，
∴a_n=-2n+1．
（2）∵bn=

1

n(3-a n)

=

1

2n(n+1)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+1

)．
∴Tn=

1

2

(1-

1

2

)+

1

2

(

1

2

-

1

3

)+…+

1

2

(

1

n

-

1

n+1

)．
=

1

2

-

1

2n+2

．
∴T_n＜

1

2

．
设f(m)=m2-2m+t+

1

2

，
函数f（m）在m∈[-1，1]内的最大值为t+

7

2

，
∴t+

7

2

≥

1

2

，
∴t≥-3．

点评：本题考查了数列前n项和与通项公式的关系、裂项法求和、能成立问题，本题难度适中，属于中档题．