Question

如图，在三棱柱ABC-A′B′C′中，底面ABC是正三角形，AA′⊥底面ABC，且AB=1，AA′=2，则直线BC′与平面ABB′A′所成角的正弦值为

 

．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角

专题：空间角

分析：如图所示，取A′B′的中点D，连接C′D′，BD．利用等边三角形的性质及AA′⊥底面ABC，可得C′D⊥侧面ABB′A′，
于是∠C′BD是直线BC′与平面ABB′A′所成角．利用勾股定理、直角三角形的边角关系即可得出．

解答： 解：如图所示，
取A′B′的中点D，连接C′D′，BD．
∵底面△A′B′C′是正三角形，
∴C′D⊥A′B′．
∵AA′⊥底面ABC，∴A′A⊥C′D．
又AA′∩A′B′=A′，
∴C′D⊥侧面ABB′A′，
∴∠C′BD是直线BC′与平面ABB′A′所成角．
∵等边△A′B′C′的边长为1，C′D=

3

2

．
在Rt△BB′C′中，BC′=

B′B2+B′C′2

=

5

．
∴直线BC′与平面ABB′A′所成角的正弦值=

C′D

BC′

=

15

10

．
故答案为：

15

10

．

点评：本题考查了线面垂直的判定与性质定理、等边三角形的性质、线面角、勾股定理、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．