题目内容
已知函数f（x）=x3-3x，x∈R，试判断函数在（1，+∞）上的单调性，并加以证明．
考点：函数单调性的性质
专题：函数的性质及应用
分析：求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系或者直接利用函数单调性的定义即可得到结论．
解答：
解：函数在（1，+∞）上的单调递增．
∵f（x）=x3-3x，
∴f′（x）=3x2-3，
当x＞1时，f′（x）=3x2-3＞0．
即此时函数单调递增．
也可以利用定义法证明：
设1＜x1＜x2，
则f（x1）-f（x2）=x13-3x1-x23+3x2=（x1-x2）（
+x1x2+
-3），
∵1＜x1＜x2，
∴x1-x2＜0，
+x1x2+
-3＞0，
∴f（x1）-f（x2）＜0，
即f（x1）＜f（x2），
∴函数在（1，+∞）上的单调递增．
∵f（x）=x3-3x，
∴f′（x）=3x2-3，
当x＞1时，f′（x）=3x2-3＞0．
即此时函数单调递增．
也可以利用定义法证明：
设1＜x1＜x2，
则f（x1）-f（x2）=x13-3x1-x23+3x2=（x1-x2）（
| x | 2 1 |
| x | 2 2 |
∵1＜x1＜x2，
∴x1-x2＜0，
| x | 2 1 |
| x | 2 2 |
∴f（x1）-f（x2）＜0，
即f（x1）＜f（x2），
∴函数在（1，+∞）上的单调递增．
点评：本题主要考查函数单调性的判断和证明，利用导数法和定义法是解决本题的关键．
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