Question

己知sin²x+cos²x=1，函数f（x）=-

1

2

-

a

4

+acosx+sin²x（0≤x≤

π

2

）的最大值为2，求实数a的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的求值

分析：令t=cosx，可得t∈[0，1]，f（x）=g（t）=-t²+at+

2-a

4

=-(t-

a

2

)2+

a2-a+2

4

．利用二次函数的性质以及函数的最大值为2，分类讨论求得a的值．

解答： 解：由于函数f（x）=-

1

2

-

a

4

+acosx+sin²x=-cos²x+a•cosx+

2-a

4

，令t=cosx，
则由0≤x≤

π

2

，可得t∈[0，1]，f（x）=g（t）=-t²+at+

2-a

4

=-(t-

a

2

)2+

a2-a+2

4

．
当

a

2

＜0时，g（t）在[0，1]上是减函数，故当t=0时，函数取得最大值为

2-a

4

=2，求得a=-6．
当

a

2

∈[0，1]，时，g（t）在[0，1]上的最大值为 g（

a

2

）=

a2-a+2

4

=2，求得a=-2（舍去），或a=3（舍去）．
当

a

2

＞1时，g（t）在[0，1]上是增函数，故当t=1时，函数取得最大值为g（1）=a-1+

2-a

4

=2，求得a=

10

3

．
综上可得，a=-6，或a=

10

3

．

点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系，余弦函数的定义域和值域，求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，属基础题．