Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一个焦点与抛物线y²=-4x的焦点相同，A（2，0）在椭圆上，过椭圆的右焦点F作斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆交于E，G两点，直线AE，AG分别交直线x=m（m＞2）于点M，N，线段MN的中点为P，记直线PF的斜率为k′．
（1）求椭圆方程；
（2）求k•k′的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由抛物线y²=-4x，可得焦点F（1，0）相同，c=1．又A（2，0）在椭圆上，a=2，再利用b²=a²-c²即可得出．
（2）点F（1，0），设E（x₁，y₁），G（x₂，y₂），设直线l的方程为：y=k（x-1），与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，由直线AE：y=

y1

x1-2

(x-2)，可得M(m，

y1(m-2)

x1-2

)，同理可得N(m，

y2(m-2)

x2-2

)．再利用斜率计算公式即可得出．

解答： 解：（1）由抛物线y²=-4x，可得焦点F（1，0）相同，∴c=1．
又A（2，0）在椭圆上，∴a=2，
∴b²=a²-c²=3．
故所求的椭圆方程为：

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）点F（1，0），设直线l的方程为：y=k（x-1），
联立

y=k(x-1) x2 4 + y2 3 =1

得 （4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0，
设E（x₁，y₁），G（x₂，y₂），
则x1+x2=

8k2

4k2+3

，x1x2=

4k2-12

4k2+3

．
直线AE：y=

y1

x1-2

(x-2)，故M(m，

y1(m-2)

x1-2

)，
同理可得N(m，

y2(m-2)

x2-2

)．
∴点P(m，

1

2

(

y1(m-2)

x1-2

+

y2(m-2)

x2-2

))，
k′=

m-2

2(m-1)

(

y1

x1-2

+

y2

x2-2

)=

(m-2)k

2(m-1)

(

x1-1

x1-2

+

x2-1

x2-2

)，
=

(m-2)k

2(m-1)

•

2x1x2-3(x1+x2)+4

x1x2-2(x 1+x2)+4

=

(m-2)k

2(m-1)

•

-12

4k2

=-

3

2k

•

m-2

m-1

∴k•k′=-

3

2

•

m-2

m-1

，
又∵m＞2
∴k•k′∈(-

3

2

，0)．

点评：本题考查了椭圆与抛物线的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率计算公式，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．