Question

4．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的右焦点为F（c，0），一条渐近线为l，圆（x-c）²+y²=c²截直线l所得弦长为2$\sqrt{2}$，则该双曲线的实轴长为（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2$\sqrt{2}$
• D． 2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由双曲线方程求出一条渐近线l的方程化为一般式，根据条件和弦长公式列出方程，化简后求出a的值，再求出该双曲线的实轴长．

解答 解：双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的一条渐近线l的方程是y=$\frac{b}{a}x$，
即bx-ay=0，
因为圆（x-c）²+y²=c²截直线l所得弦长为2$\sqrt{2}$，
所以c²=${（\sqrt{2}）}^{2}$+${（\frac{|bc-a×0|}{\sqrt{{b}^{2}+{a}^{2}}}）}^{2}$，
化简得，c²=b²+2，则a=$\sqrt{2}$，
所以该双曲线的实轴长为2a=2$\sqrt{2}$，
故选：C．

点评 本题考查双曲线的简单几何性质，以及直线与圆相交时弦长问题，属于中档题．