Question

19．已知点A（2，2）及圆C：x²+y²+4x-8y+4=0．
（Ⅰ）若直线l过点A且被圆C截得的线段长为4$\sqrt{3}$，求直线l的方程；
（Ⅱ）由圆C外一点P（a，b）向圆C引切线PQ，切点为Q，且满足|PQ|=|PA|，求线段PQ长的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若直线l过点A且被圆C截得的线段长为4$\sqrt{3}$，直线l与圆心的距离为2，利用点到直线的距离公式求出k，即可求直线l的方程；
（Ⅱ）求出P的坐标之间的关系，表示出线段PQ长，利用配方法可求PQ的最小值．

解答 解：（Ⅰ）圆C：x²+y²+4x-8y+4=0可化为（x+2）²+（y-4）²=16，圆心坐标为（-2，4），半径为4
∵直线ι被圆C截得的线段长为4$\sqrt{3}$，∴直线l与圆心的距离为2，
直线斜率存在，设l的斜率是k，设直线l：y-2=k（x-2），即kx-y-2k+2=0；
∵直线l与圆C的圆心相距为2，∴d=$\frac{|-2k-4-2k+2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，解得k=0或-$\frac{4}{3}$，
此时直线的方程为y=2或4x+3y-14=0；
（Ⅱ）连结CP，∵Q为切点，∴PQ⊥CQ，
由勾股定理有：|PQ|²=|CP|²-|CQ|²．
又由已知|PQ|=|PA|，故|PQ|²=|PA|²．
即：（a+2）²+（b-4）²-4²=（a-2）²+（b-2）²，
化简得实数a、b间满足的等量关系为：2a-b-1=0，即b=2a-1．
∴|PQ|=$\sqrt{（a-2）^{2}+（b-2）^{2}}$=$\sqrt{5（a-\frac{8}{5}）^{2}+\frac{1}{5}}$，
故当a=$\frac{1}{5}$时，线段PQ长的最小值为$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查直线方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．