Question

5．已知函数y=f（x），若存在零点x₀，则函数y=f（x）可以写成：f（x）=（x-x₀）g（x）．
例如：对于函数f（x）=x³-2x²+3，-1是它的一个零点，则f（x）=（x+1）g（x）（这里g（x）=x²-3x+3）．若函数f（x）=x³+（a-2）x²+（b-2a）x+c存在零点x=2．
（1）若f（0）=-2，且函数y=f（x）在区间[-2，2]上的最大值为0，求实数a的取值范围；
（2）已知函数y=f（x）存在零点x₁∈[-1，0]，且|f（1）|≤1，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出g（x）=x²+ax+1，令g（x）≥0在区间[-2，2]上恒成立，列不等式组得出a的范围；
（2）求出g（x）=x²+ax+b，根据条件列出不等式组，作出平面区域，根据线性规划知识求出b的范围．

解答 解：（1）∵f（0）=-2，∴c=-2，
设f（x）=（x-2）g（x），则g（x）为二次函数，不妨设g（x）=（x²+mx+n），
则f（x）=（x-2）（x²+mx+n）=x³+（m-2）x²+（n-2m）x-2n，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m-2=a-2}\\{n-2m=b-2a}\\{-2n=-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=a}\\{n=1}\end{array}\right.$，
∴g（x）=x²+ax+1，
∵当x∈[-2，2]时，f（x）≤0，且x-2≤0，
∴g（x）=x²+ax+1≥0在[-2，2]上恒成立，
∴△=a²-4≤0，或$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{a}{2}≤-2}\\{5+2a≥0}\\{5-2a≥0}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{a}{2}≥2}\\{5+2a≥0}\\{5-2a≥0}\end{array}\right.$，
解得-2≤a≤2．
（2）设f（x）=（x-2）（x²+mx+n）=x³+（m-2）x²+（n-2m）x-2n，
则$\left\{\begin{array}{l}{m-2=a-2}\\{n-2m=b-2a}\\{-2n=c}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{m=a}\\{n=b=-\frac{c}{2}}\end{array}\right.$，∴g（x）=x²+ax+b，
∵|f（1）|＜1，-1≤1+a+b≤1，即-2≤a+b≤0，
∵f（x）存在零点x₁∈[-1，0]，∴g（x）在[-1，0]上存在零点x₁，
①若a²-4b=0，即b=$\frac{{a}^{2}}{4}$≥0，
且-1≤-$\frac{a}{2}$≤0，∴0≤a≤2，
∴a+b≥0，又-2≤a+b≤0，
∴a=b=0，
②若a²-4b＞0，
∵g（x）在[-1，0]上存在零点x₁，
∴g（-1）g（0）≤0，即b（1-a+b）≤0，
故而a，b满足的约束条件为：$\left\{\begin{array}{l}{-2≤a+b≤0}\\{{a}^{2}-4b＞0}\\{b（1-a+b）≤0}\end{array}\right.$，
作出约束条件表示的平面区域如图所示：

联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{1-a+b=0}\\{a+b=-2}\end{array}\right.$得A（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{3}{2}$）．
∴-$\frac{3}{2}$≤b≤0．
综上，-$\frac{3}{2}$≤b≤0．

点评 本题考查了二次函数的性质，函数零点与线性规划，属于中档题．