Question

给出以下五个结论：
①函数f（x）=x 

1

3

-（

1

2

）^x的零点在区间（

1

3

，

1

2

）内；
②平面内的动点P到点F（-2，3）和到直线l：2x+y+1=0的距离相等，则点P的轨迹为抛物线；
③?x＞0，不等式2x+

a

x

≥4成立的充要条件a≥2；
④若将函数f（x）=sin（2x-

π

3

）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位后变为偶函数，则φ的最小值是

π

12

；
⑤过M（2，0）的直线l与椭圆

x2

2

+y²=1交于P₁，P₂两点，线段P₁P₂中点为P，设直线l的斜率为k₁（k₁≠0），直线OP的斜率为k₂，则k₁k₂等于-

1

2

，
其中正确结论的个数是（　　）

• A、2
• B、3
• C、4
• D、5

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：①利用幂函数与指数函数的单调性、函数零点的判定定理即可判断出；
②由于点F（-2，3）在直线l：2x+y+1=0上，因此其轨迹为过点F（-2，3）且与直线l垂直的一条直线，故不正确；
③利用基本不等式的性质即可得出；
④将函数f（x）=sin（2x-

π

3

）的图象向右平移φ（＞0）个单位后变为sin[2(x-φ)-

π

3

]=sin(2x-2φ-

π

3

)为偶函数，则2φ+

π

3

=kπ+

π

2

（k∈Z），即可得出φ的最小值；
⑤设P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），P（x₀，y₀），则

x 2 1

2

+

y

2 1

=1，

x 2 2

2

+

y

2 2

=1，两式相减可得x₀+2y₀k₁=0，k2=

y0

x0

，即可k₁k₂等于-

1

2

．

解答： 解：①由函数f（x）=x 

1

3

-（

1

2

）^x，可知：函数在R上单调递增，因此最多有一个零点，而f(

1

3

)=(

1

3

)

1

3

-(

1

2

)

1

3

＜0，f(

1

2

)=(

1

2

)

1

3

-(

1

2

)

1

2

＞0，∴f(

1

3

)f(

1

2

)＜0，因此函数的零点在区间（

1

3

，

1

2

）内，正确；
②由于点F（-2，3）在直线l：2x+y+1=0上，因此其轨迹为过点F（-2，3）且与直线l垂直的一条直线，故不正确；
③当a＞0时，?x＞0，不等式2x+

a

x

≥2

2x• a x

=2

2a

≥4?a≥2，正确；
④若将函数f（x）=sin（2x-

π

3

）的图象向右平移φ（＞0）个单位后变为sin[2(x-φ)-

π

3

]=sin(2x-2φ-

π

3

)为偶函数，则2φ+

π

3

=kπ+

π

2

（k∈Z），因此φ的最小值是

π

12

，正确；
⑤设P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），P（x₀，y₀），则

x 2 1

2

+

y

2 1

=1，

x 2 2

2

+

y

2 2

=1，则

(x1+x2)(x1-x2)

2

+（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，∴x₀+2y₀k₁=0，k2=

y0

x0

，
∴k₁k₂等于-

1

2

，正确．
综上可得：①③④⑤正确．
故选：C．

点评：本题考查了函数的单调性、函数零点的判定定理、抛物线的定义、基本不等式的性质、三角函数的图象变换、“点差法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．