Question

已知直线l：x-y+1=0与椭圆：x²+7y²=4交于A，B两点．

（Ⅰ）求该椭圆的离心率；
（Ⅱ）求证：OA⊥OB．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）通过椭圆的标准方程，求出a、b、c，然后求该椭圆的离心率；
（Ⅱ）联立直线方程与椭圆的方程，求出A、B坐标，求出直线的斜率，然后证明：OA⊥OB．

解答： （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设椭圆方程可化为为：

x2

4

+

y2

4 7

=1…（1分）
∴a2=4，b2=

4

7

∴a=2…（3分）
∴c2=a2-b2=

4

7

∴c=

2 42

7

…（4分）
∴e=

c

a

=

42

7

…（5分）
（Ⅱ）证明：联立

x-y+1=0 x2+7y2=4

得：8x²+14x+3=0…（7分）
（4x+1）（2x+3）=0解得：x1=-

1

4

，x2=-

3

2

…（9分）
y1=

3

4

，y2=-

1

2

∴A(-

1

4

，

3

4

)，B(-

3

2

，-

1

2

)，…（10分）
∴kOA=-3，kOB=

1

3

∴k_OA•k_OB=-1           …（11分）
所以，OA⊥OB…（12分）

点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，椭圆的简单性质，考查分析问题解决问题的能力．