Question

已知函数f（x）=（x²+ax+a）e^x（e为自然对数的底数）．
（1）若a=-1，求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在R上单调递增，求不等式f（x）≤2的解集．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）求函数的导数，即可求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在R上单调递增，则f′（x）≥0恒成立，求出a的值，即可求出不等式f（x）≤2的解集．

解答： 解：（1）∵f（x）=（x²+ax+a）e^x（e为自然对数的底数）．
∴f′（x）=[x²+（2+a）x+2a]e^x，
当a=-1时，f′（x）=（x²+x-2）e^x，
由f′（x）=（x²+x-2）e^x＞0得x＞1或x＜-2，此时函数单调递增，
由f′（x）=（x²+x-2）e^x＜0得-2＜x＜1，此时函数单调递减，
故函数的增区间为（1，+∞），（-∞，-2），单调递减区间为（-2，1）．
（2）由（1）知，f′（x）=[x²+（2+a）x+2a]e^x，
若函数f（x）在R上单调递增，
则f′（x）≥0恒成立，即f′（x）=[x²+（2+a）x+2a]e^x≥0，
则x²+（2+a）x+2a≥0恒成立，
即△=（2+a）²-8a=（a-2）²≤0，
解得a=2，
此时f（x）=（x²+2x+2）e^x，
∵f（0）=2，
∴不等式f（x）≤2等价为f（x）≤f（0），
∵函数f（x）单调递增，
∴x≤0，
故不等式的解集为（-∞，0]．

点评：本题主要考查函数的单调性和导数之间的关系，考查学生的计算能力．