Question

已知函数f(x)=x-alnx，g(x)=-

1+a

x

(a∈R)．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线f（x）在x=1处的切线方程；
（Ⅱ）设函数h（x）=f（x）-g（x），求函数h（x）的单调区间；
（Ⅲ）若在[1，e]（e=2.718…）上存在一点x₀，使得f（x₀）＜g（x₀）成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）先求出其导函数，求出切线斜率，即可求曲线f（x）在x=1处的切线方程；
（Ⅱ）先求出函数h（x）的导函数，分情况讨论让其大于0求出增区间，小于0求出减区间即可得到函数的单调区间；
（Ⅲ）先把f（x₀）＜g（x₀）成立转化为h（x₀）＜0，即函数h(x)=x+

1+a

x

-alnx在[1，e]上的最小值小于零；再结合（Ⅱ）的结论分情况讨论求出其最小值即可求出a的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），
当a=1时，f（x）=x-lnx，f′(x)=1-

1

x

=

x-1

x

，f（1）=1，f'（1）=0，切点（1，1），斜率k=0
∴曲线f（x）在点（1，1）处的切线方程为y=1
（Ⅱ）h(x)=x+

1+a

x

-alnx，∴h′（x）=

(x+1)[x-(1+a)]

x2

①当a+1＞0时，即a＞-1时，在（0，1+a）上h'（x）＜0，在（1+a，+∞）上h'（x）＞0，
所以h（x）在（0，1+a）上单调递减，在（1+a，+∞）上单调递增；（7分）
②当1+a≤0，即a≤-1时，在（0，+∞）上h'（x）＞0，
所以，函数h（x）在（0，+∞）上单调递增．
（Ⅲ）在[1，e]上存在一点x₀，使得f（x₀）＜g（x₀）成立，即
在[1，e]上存在一点x₀，使得h（x₀）＜0，
即函数h(x)=x+

1+a

x

-alnx在[1，e]上的最小值小于零．
由（Ⅱ）可知：①1+a≥e，即a≥e-1时，h（x）在[1，e]上单调递减，
所以h（x）的最小值为h（e），由h（e）=e+

1+a

e

-a＜0可得a＞

e2+1

e-1

，
因为

e2+1

e-1

＞e-1，所以a＞

e2+1

e-1

；
②当1+a≤1，即a≤0时，h（x）在[1，e]上单调递增，
所以h（x）最小值为h（1），由h（1）=1+1+a＜0可得a＜-2；
③当1＜1+a＜e，即0＜a＜e-1时，可得h（x）最小值为h（1+a），
因为0＜ln（1+a）＜1，
所以，0＜aln（1+a）＜a
故h（1+a）=2+a-aln（1+a）＞2
此时，h（1+a）＜0不成立
综上可得所求a的范围是：a＞

e2+1

e-1

或a＜-2．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数存在性问题，考查构造函数思想及分析运算能力，属于难题．