Question

5．已知向量$\overrightarrow m=（\sqrt{3}sin\frac{x}{2}，1），\overrightarrow n=（cos\frac{x}{2}，{cos^2}\frac{x}{2}），f（x）=2\overrightarrow m•\overrightarrow n-1$
（1）求函数f（x）的解析式，并求函数f（x）的单调增区间；
（2）画出函数f（x）在[0，2π]上的图象．

Answer 1

分析 （1）根据向量的坐标运算和向量的数量积和二倍角公式化简即可，并根据三角函数的性质即可求出单调区间，
（2）利用五点作图法，即可得到函数的图象．

解答 解：$\overrightarrow m=（\sqrt{3}sin\frac{x}{2}，1），\overrightarrow n=（cos\frac{x}{2}，{cos^2}\frac{x}{2}）$
（1）$f（x）=2\overrightarrow m•\overrightarrow n-1$=$2（\sqrt{3}sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}+{cos^2}\frac{x}{2}）-1=\sqrt{3}sinx+cosx=2sin（x+\frac{π}{6}）$，
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得2kπ-$\frac{2}{3}π$≤x≤2kπ+$\frac{1}{3}π$，k∈Z，
∴f（x）的单调递增区间为[2kπ-$\frac{2}{3}π$，2kπ+$\frac{1}{3}π$]，k∈Z．
（2）列表如下：

x	0	$\frac{π}{3}$	$\frac{5}{6}$π	$\frac{4}{3}$π	$\frac{11}{6}$π	2π
x+$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3}{2}$π	2π	$\frac{13}{6}$π
y	1	2	0	-2	0	1

画出函数f（x）在区间[0，2π]上的图象．

点评 本题主要考查了正弦函数的单调性，和两角和公式，二倍角公式的运用．三角函数的基本公式较多，注意多积累．