Question

20．已知圆C的方程为x²+y²-2x+4y-m=0．
（I）若点P（m，-2）在圆C的外部，求m的取值范围；
（II）当m=4时，是否存在斜率为1的直线l，使以l被圆C截得的弦AB为直径所作的圆过原点？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）x²+y²-2x+4y-m=0，整理得：（x-1）²+（y+2）²=m+5，根据点P（m，-2）在该圆的外部，建立不等式，即可求m的取值范围；
（Ⅱ）依题意假设直线l存在，其方程为x-y+p=0，N是弦AB的中点，利用|ON|=|AN|，从而得出结论．

解答 解：（I）∵x²+y²-2x+4y-m=0，
∴整理得：（x-1）²+（y+2）²=m+5．
由m+5＞0得：m＞-5．…（2分）
∵点P（m，-2）在该圆的外部，
∴（m-1）²+（-2+2）²＞m+5．
∴m²-3m-4＞0．
∴m＞4或m＜-1．
又∵m＞-5，
∴m的取值范围是（-5，-1）∪（4，+∞）．…（4分）
（II）当m=4时，圆C的方程为（x-1）²+（y+2）²=9．…（5分）
如图：依题意假设直线l存在，其方程为x-y+p=0，N是弦AB的中点．…（6分）

∴CN的方程为y+2=-（x-1）．
联立l的方程可解得N的坐标为$（-\frac{p+1}{2}\;，\;\frac{p-1}{2}\;）$．…（7分）
∵原点O在以AB为直径的圆上，
∴|ON|=|AN|．
∴$\sqrt{{{（-\frac{p+1}{2}-0）}^2}+{{（\frac{p-1}{2}-0）}^2}}=\sqrt{{3^2}-|CN{|^2}}=\sqrt{9-{{（\frac{|3+p|}{{\sqrt{2}}}）}^2}}$．
化简得：p²+3p-4=0，解得：p=-4或1．…（11分）
∴l的方程为x-y-4=0或x-y+1=0．…（12分）

点评 本题主要考查求圆的切线方程，直线和圆的位置关系应用，考查两点间距离公式的运用，属于中档题．