题目内容

已知函数f（x）=asin2x+cos（2x+
π
3
）的最大值为1，则a=
 
．
考点：三角函数中的恒等变换应用
专题：三角函数的图像与性质
分析：首先，借助于两角和的余弦公式，展开cos（2x+
π
3
），然后，利用辅助角公式，得到f（x）=
(a-
3
2
)2+
1
4
sin（2x+θ），再利用最值关系式，求解a的取值．
解答： 解：∵函数f（x）=asin2x+cos（2x+
π
3
）
=asin2x+cos2xcos
π
3
-sin2xsin
π
3

=asin2x+
1
2
cos2x-
3
2
sin2x
=（a-
3
2
）sin2x+
1
2
cos2x
=
(a-
3
2
)2+
1
4
sin（2x+θ），
∴f（x）max═
(a-
3
2
)2+
1
4

∴
(a-
3
2
)2+
1
4
=1，
两边平方，得
（a-
3
2
）2+
1
4
=1，
∴|a-
3
2
|=
3
2
，
∴a=0或
3
．
故答案为：0或
3
．
点评：本题综合考查了两角和与差的三角公式及其灵活运用，辅助角公式，三角函数的最值等知识，考查比较综合，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）=cos（2x-
π
3
）+2sin2x，
（1）求函数f（x）的最大值和最小正周期；
（2）若α为锐角，且f（
α
2
）=
3
4
，求sinα的值．
已知数列{an}中a1=1，an+1=an+n，若利用如图所示的程序框图计算该数列的第8项，则判断框内的条件是
 
．
函数y=sin（x+
π
6
）cosx的最大值为
 
．
公差不为零的等差数列{an}中，a3-a72+a11=0，数列{bn}是等比数列，且b7=a7，则b1•b2…b13等于
 
．
定义：对于各项均为整数的数列{an}，如果ai+i（i=1，2，3，…）为完全平方数，则称数列{an}具有“P性质”；不论数列{an}是否具有“P性质”，如果存在数列{bn}与{an}不是同一数列，且{bn}满足下面两个条件：
（1）b1，b2，b3，…，bn是a1，a2，a3，…，an的一个排列；
（2）数列{bn}具有“P性质”，则称数列{an}具有“变换P性质”．给出下面三个数列：
①数列{an}的前n项和Sn=
n
3
（n2-1）；
②数列{bn}：1，2，3，4，5；
③数列{cn}：1，2，3，4，5，6．
具有“P性质”的为
 
；具有“变换P性质”的为
 
．
计算：
lim
n→∞
1+2+4+…+2n
C
1
n
+
C
2
n
+…+
C
n
n
=
 
．
已知数列{an}是公差为2的等差数列，Sn是{an}的前n项和，则
lim
n→∞
Sn
nan
=
 
．
若关于x的不等式x2+|x+3a|＜2至少有一个正数解，则实数a的取值范围是
 
．

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