Question

若关于x的不等式x²+|x+3a|＜2至少有一个正数解，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：我们将原不等式变形为：|x+3a|＜2-x²，我们在同一坐标系画出y=2-x²（y＞0，x＞0）和 y=|x|两个图象，利用数形结合思想，易得实数a的取值范围．

解答： 解：原不等式变形为：|x+3a|＜2-x²，且 0＜2-x²．
在同一坐标系画出y=2-x²（y＞0，x＞0）和 y=|x|两个函数图象，
将绝对值函数 y=|x|向左移动当右支经过 （0，2）点，-3a=-2，求得a=

2

3

．
将绝对值函数 y=|x|向右移动让左支与抛物线y=2-x²（y＞0，x＞0）相切时，
由

y-0=-(x+3a) y=2-x2

可得x²-x-3a-2=0，由判别式△=0，求得a=-

3

4

．
数形结合可得，实数a的取值范围是（-

3

4

，

2

3

），
故答案为：（-

3

4

，

2

3

）．

点评：本题考查的知识点是一元二次函数的图象，及绝对值函数图象，其中在同一坐标中，画出y=2-x²（y＞0，x＞0）和 y=|x|两个图象，结合数形结合的思想得到答案，是解答本题的关键，属于中档题．