Question

若|x+1|+|2x+a|≥-y²+2y+2对于任意的x，y恒成立，则实数a的值为

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：这是一个不等式恒成立问题，先求出右边式子的最大值m，然后再让左边关于x的函数最小值大于或等于m即可．

解答： 解：由-y²+2y+2=-（y-1）²+3，最大值为3，所以只需|x+1|+|2x+a|≥3即可．
当-

a

2

≤-1时即a≥2时，f(x)=

3x+a+1，(x＞-1) x+a-1，(- a 2 ≤x≤-1) -3x-a-1，(x＜- a 2 )

，易知当x=-

a

2

时，函数取最小值f(-

a

2

)=

a

2

-1=3，所以a=8．
当-

a

2

＞-1即a＜2时，f(x)=

3x+a+1，(x＞- a 2 ) -x-a+1，(-1≤x≤- a 2 ) -3x-a-1，(x＜-1)

，易知当x=-

a

2

时，函数取最小值f（-

a

2

）=-

a

2

+1=3，所以a=-4．
故a的值为-4或8．
故答案为：-4或8．

点评：本题考查了含有两个绝对值符号的函数的最值问题，一般需要分类讨论求解．