Question

已知圆C的方程为x²+y²=4，过点M（2，4）作圆C的两条切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆T：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右顶点和上顶点．
（1）求椭圆T的方程；
（2）已知直线l：y=kx+

3

（k＞0）与椭圆相交于P，Q两点，O为坐标原点，求△OPQ面积的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）利用点到直线的距离公式，求得另一条切线方程，与圆方程联立，从而可得直线AB的方程，由此可求椭圆T的方程；
（2）直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理求出|PQ|，求出原点到直线l的距离，表示出三角形的面积，进而利用基本不等式，即可求得△OPQ面积的最大值．

解答： 解：（1）由题意：一条切线方程为：x=2，设另一条切线方程为：y-4=k（x-2）．（2分）
则：

|4-2k|

k2+1

=2，解得k=

3

4

，此时切线方程为：y=

3

4

x+

5

2

，
切线方程与圆方程联立，可得x²+（

3

4

x+

5

2

）²=4，
从而可得x=-

6

5

，y=

8

5

，
则直线AB的方程为x+2y=2…．（4分）
令x=0，解得y=1，∴b=1；令y=0，得x=2，∴a=2
故所求椭圆方程为

x2

4

+y²=1．…．（6分）
（2）联立

y=kx+ 3 x2 4 +y2=1

，整理得(1+4k2)x2+8

3

kx+8=0，
令P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x1+x2=-

8 3 k

1+4k2

，x1x2=

8

1+4k2

，
△=(8

3

k)2-32(1+4k2)＞0，即：2k²-1＞0…．．（8分）
又原点到直线l的距离为d=

| 3 |

1+k2

，|PQ|=

1+k2

|x1-x2|，…．（10分）
∴S_△OPQ=

1

2

|PQ|d=

3

2

|x2-x1|
=

3

2

(- 8 3 1+4k2 )2- 32 1+4k2

=2

6

•

2k2-1 (1+4k2)2

=2

6

•

2k2-1 4(2k2-1)2+12(2k2-1)+9

=2

6

•

1 4(2k2-1)+12+ 9 2k2-1

≤1，
当且仅当k=

5

2

时取等号，∴△OPQ面积的最大值为1．…．（12分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与圆相切，考查三角形面积的计算，考查基本不等式的运用，正确表示三角形的面积是关键．