Question

2．下列命题中的假命题是（　　）

• A． ?x∈R，3^x＞0
• B． ?x₀∈R，lgx₀=0
• C． $?x∈（{0，\frac{π}{2}}），x＞sinx$
• D． $?{x_0}∈R，sin{x_0}+cos{x_0}=\sqrt{3}$

Answer 1

分析 A，由指数函数y=3^x的值域为（0，+∞），可判定A；
B，当x₀=1，lgx₀=0；
C，构造函数f（x）=x-sinx，f′（x）=1-cosx≥0恒成立，∴f（x）=x-sinx在R上单调递增，且f（0）=0，∴x∈（0，$\frac{π}{2}）$时，x＞sinx，
D，sinx+cosx=$\sqrt{2}sin（x+\frac{π}{4}）≤\sqrt{2}$．

解答 解：对于A，由指数函数y=3^x的值域为（0，+∞），可判定A正确；
对于B，当x₀=1，lgx₀=0，故正确；
对于C，构造函数f（x）=x-sinx，f′（x）=1-cosx≥0恒成立，∴f（x）=x-sinx在R上单调递增，且f（0）=0，∴x∈（0，$\frac{π}{2}）$时，x＞sinx，故正确，
对于D，sinx+cosx=$\sqrt{2}sin（x+\frac{π}{4}）≤\sqrt{2}$，故错．
故选：D．

点评 本题考查了命题真假的判定，属于基础题．