Question

如图，已知圆M：（x-3）²+（y-3）²=4，△ABC为圆M的内接正三角形，E为边AB的中点，当正△ABC绕圆心M转动，且F是AC边上的中点，

ME

•

OF

的最大值是

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：计算题,平面向量及应用,直线与圆

分析：运用向量的三角形法则，结合向量的数量积的定义，可得

ME

•

OF

=-

1

2

-

ME

•

MO

，再由向量的数量积定义及余弦函数的值域即可得到最大值．

解答： 解：由题意可得

OF

=

OM

+

MF

，
∴

ME

•

OF

=

ME

•（

OM

+

MF

）=

ME

•

OM

+

ME

•

MF

，
∵

ME

•

MF

=|

ME

|•|

MF

|•cos120°=1×1×（-

1

2

）=-

1

2

，
∴

ME

•

OF

=-

1

2

+

ME

•

OM

=-

1

2

-

ME

•

MO

，
由于圆M：（x-3）²+（y-3）²=4，则圆心M（3，3），半径r=2，
则OM=3

2

，ME=1，
可得

ME

•

MO

=1×3

2

cos＜

ME

，

MO

＞∈[-3

2

，3

2

]，
故

ME

•

OF

的最大值是大为3

2

-

1

2

．
故答案为：3

2

-

1

2

．

点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，余弦函数的值域，