Question

是否存在正整数a，b，使f（x）=

x2

ax-2

，且满足f（b）=b及f（-b）＜-

1

b

，若存在，求出a，b，若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：一元二次不等式的解法,函数的值

专题：函数的性质及应用

分析：假设存在正整数a，b，使f（x）=

x2

ax-2

，且满足f（b）=b及f（-b）＜-

1

b

．可得

b2

ab-2

=b，

b2

-ab-2

＜-

1

b

．利用正整数的性质、对b分类讨论即可得出．

解答： 解：假设存在正整数a，b，使f（x）=

x2

ax-2

，且满足f（b）=b及f（-b）＜-

1

b

．
则

b2

ab-2

=b，

b2

-ab-2

＜-

1

b

．
化为b+2-ab=0，b³＞ab+2，
∴a=1+

2

b

，b可以取1，2，
当b=1时，a=3，不满足b³＞ab+2，应舍去；
当b=2时，a=2，满足b³＞ab+2．
∴存在正整数a=b=2，使f（x）=

x2

ax-2

，且满足f（b）=b及f（-b）＜-

1

b

．

点评：本题考查了正整数的性质、分类讨论方法、函数的性质、不等式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．