Question

设函数f（x）=2sinxcos²

φ

2

+cosxsinφ-sinx（0＜φ＜π）在x=π处取最小值．
（1）求φ的值；
（2）若实数α满足f（α）+f（

π

2

-α）=

1

5

，α∈（

π

2

，π），试求

sin2α+cos2α-1

sinα-cosα

的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）首先，化简函数解析式，得到f（x）=sin（x+φ），然后，根据函数f（x）在x=π处取最小值，确定φ=

π

2

；
（2）根据（1），得到f（x）=cosx，然后，根据f（α）+f（

π

2

-α）=

1

5

，得到sinα+cosα=

1

5

，从而得到sinα-cosα=

7

5

，最后，化简

sin2α+cos2α-1

sinα-cosα

=-2sinα，从而确定其值．

解答： 解：（1）∵f（x）=2sinxcos²

φ

2

+cosxsinφ-sinx，
∴f（x）=2sinx•

1+cosφ

2

+cosxsinφ-sinx
=sinx+sinxcosφ+cosxsinφ-sinx
=sin（x+φ），
∴f（x）=sin（x+φ），
∵函数f（x）在x=π处取最小值．
且0＜φ＜π，
∴φ=

π

2

．
（2）根据（1）得
f（x）=sin（x+

π

2

）=cosx，
∴f（α）+f（

π

2

-α）
=cosα+cos（

π

2

-α）=

1

5

，
∴sinα+cosα=

1

5

，
∵

sin2α+cos2α-1

sinα-cosα

=

2sinαcosα-2sin2α

sinα-cosα

=

2sinα(cosα-sinα)

sinα-cosα

=-2sinα
∵sinα+cosα=

1

5

，且α∈（

π

2

，π），
∴sinα-cosα=

7

5

，
∴sinα=

4

5

，
∴

sin2α+cos2α-1

sinα-cosα

的值为-

8

5

．

点评：本题重点考查了三角函数的图象与性质、三角公式等知识，属于中档题．