Question

设函数y=f（x）的定义域D，若对任意的x₁，x₂∈D，都有|f（x₁）-f（x₂）|＜1，则称函数y=f（x）为“Storm”函数，那么下列函数是“Storm”函数的是（　　）
①f（x）=x²（x∈[-1，2]）     
②f（x）=x³（x∈[0，1]）
③f（x）=

1

x

（x∈[1，3]）       
④f（x）=x³-x+a（x∈[-1，1]）

• A、①③
• B、③
• C、②③
• D、③④

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：新定义,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：根据|f（x₁）-f（x₂）|≤|f（x）_max-f（x）_min|，我们只要求得函数的最大值和最小值，看差的绝对值是否小于1即可．
①求出f（x）的最大值为4，最小值为0，判断即可；②求出f（x）的最大值为1，最小值为0，即可判断；
③求出f（x）的最大值为1，最小值为

1

3

，判断即可；④用导数法来求其最大值和最小值即可判断．

解答： 解：①f（x）=x²（x∈[-1，2]）则f（x）的最大值为4，最小值为0，
则|f（x₁）-f（x₂）|≤4，故①不正确；
②f（x）=x³（x∈[0，1]）则f（x）的最大值为1，最小值为0，
则|f（x₁）-f（x₂）|≤1，故②不正确；
③f（x）=

1

x

（x∈[1，3]）则f（x）的最大值为1，最小值为

1

3

，
则|f（x₁）-f（x₂）|≤

2

3

＜1，故③正确；
④函数f（x）=x³-x+a（x∈[-1，1]，a∈R，
导数是f′（x）=3x²-1，f′（x）=0得x=±

3

3

，
当x=

3

3

时，f（x）=a-

2 3

9

，当x=-

3

3

时，f（x）=a+

2 3

9

，又f（±1）=a，
故f（x）的最大值为a+

2 3

9

，最小值为a-

2 3

9

．
即有|f（x₁）-f（x₂）|≤|f_max-f_min|=

4 3

9

＜1，故④正确．
故选：D．

点评：本题是一道新定义题，要理清定义的条件和结论，将问题转化为已知的去解决，主要涉及了恒成立问题，函数的最值求法等．