题目内容

在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，若a=2bcosC，这个三角形一定是（　　）
A、等腰三角形
B、直角三角形
C、等腰直角三角形
D、等腰三角形或直角三角形
考点：正弦定理
专题：解三角形
分析：法1：先根据余弦定理表示出cosC，代入整理即可得到b=c从而知是等腰三角形．
法2：根据正弦定理，结合三角函数的边角关系进行化简．
解答： 解：法1：由余弦定理得cosC=
a2+b2-c2
2ab
，
把cosC代入a=2bcosC得：a=2b•
a2+b2-c2
2ab
，
整理得a2=a2+b2-c2，
∴c2=b2．又b和c都大于0，
则b=c，即三角形为等腰三角形．
法2：由正弦定理得sinA=2sinBcosC，
即sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC，
整理得sinBcosC-cosBsinC=sin（B-C）=0，
即B=C，
则三角形为等腰三角形，
故选：A．
点评：此题考查了正弦定理和余弦定理，以及三角形的形状判定，利用余弦定理表示出cosC是本题的突破点．
练习册系列答案
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在当今的信息化社会中，信息安全显得尤为重要，为提高信息在传输中的安全性，通常在原信息中按一定规则对信息加密，设定原信息为A0=a1a2…an，ai∈{0，1}（i=1，2，3…n），传输当中原信息中的1都转换成01，原信息中的0转换成10，定义这种数字的转换为变换T，在多次的加密过程中，满足Ak=T（Ak-1），k=1，2，3，…．
（1）若A2：10010110，则A0为
 
；
（2）若A0为10，记AK中连续两项都是l的数对个数为lK，k=l，2，3，…，则lK=
 
．
已知函数f（x）=sin2x+2
3
cos2x-
3
-2a（x∈[0，
π
2
]）有唯一的一个零点，则实数a的取值范围是
 
．
已知正数x、y满足xy=2x+1，则x+y的最小值是（　　）
A、1
B、3
C、4
D、2+2
2
设函数y=f（x）的定义域D，若对任意的x1，x2∈D，都有|f（x1）-f（x2）|＜1，则称函数y=f（x）为“Storm”函数，那么下列函数是“Storm”函数的是（　　）
①f（x）=x2（x∈[-1，2]）     
②f（x）=x3（x∈[0，1]）
③f（x）=
1
x
（x∈[1，3]）       
④f（x）=x3-x+a（x∈[-1，1]）
A、①③B、③C、②③D、③④
已知sinα-cosα=
1
5
，α∈（0，
π
2
），则sin2α=（　　）
A、-
24
25
B、
24
25
C、-
12
25
D、
12
25
若C
 
7
n+1
-C
 
7
n
=C
 
6
n
，则n的取值可以是（　　）
A、4B、5C、6D、7
已知函数f（x）定义域为D，若?a，b，c∈D，f（a），f（b），f（c）都是某一三角形的三边，则称f（x）为定义在D上的“保三角形函数”，以下说法正确的个数有（　　）
①f（x）=1（x∈R）不是R上的“保三角形函数”
②若定义在R上的函数f（x）的值域为[
2
，2]，则f（x）一定是R上的“保三角形函数”
③f（x）=
1
x2+1
是其定义域上的“保三角形函数”
④当t＞1时，函数f（x）=ex+t一定是[0，1]上的“保三角形函数”
A、1个B、2个C、3个D、4个
设导函数f′（x）=x3-2，则
lim
t→0
f(1+2t)-f(1-t)
t
=（　　）
A、9B、-9C、3D、-3

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