Question

若曲线f（x，y）=0上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f（x，y）=0的“自公切线”，下列方程：
①x²-y²=1
②x²-|x-1|-y=0
③xcosx-y=0
④|x|-

4-y2

+1=0
其中所对应的曲线中存在“自公切线”的有（　　）

• A、①②
• B、②③
• C、①④
• D、③④

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：综合题,新定义,函数的性质及应用

分析：通过画出函数图象，观察其图象是否满足在其上图象上是否存在两个不同点处的切线重合，从而确定是否存在自公切线，即可得到结论．

解答： 解：①x²-y²=1 是一个等轴双曲线，没有自公切线；
②x²-|x-1|-y=0，由两圆相交，可知公切线，满足题意，故有自公切线；
③y=xcosx 的图象过（2π，2π ），（4π，4π），图象在这两点的切线都是y=x，故此函数有自公切线；
④对于方程|x|-

4-y2

+1=0，其表示的图形为图中实线部分，不满足要求，故不存在．
故选：B．

点评：正确理解新定义“自公切线”，正确画出函数的图象、数形结合的思想方法是解题的关键．