Question

设等比数列{a_n}中，0＜a₁＜a₂，S_n是数列{a_n}的前n项和，求证：当n≥3时，S_n＜

n(a1+an)

2

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：设公比为q，由题意知q＞1．①当n=3时，由q＞1，得不等式S_n＜

n(a1+an)

2

成立；②假设n=k时，S_k＜

k(a1+ak)

2

．则n=k+1时，S_k+1=S_k+a_k+1＜＜

(k+1)(a1+ak+1)

2

．由数学归纳法知，当n≥3时，S_n＜

n(a1+an)

2

．

解答： 解：设公比为q，∵等比数列{a_n}中，0＜a₁＜a₂，∴q＞1．
①当n=3时，∵q＞1，∴2q＜q²+1，2a₂＜a₁+a₃，
不等式S_n＜

n(a1+an)

2

成立
②假设n=k时，不等式成立，即S_k＜

k(a1+ak)

2

．
则n=k+1时，S_k+1=S_k+a_k+1＜

k(a1+ak)

2

+a_k+1
=

(k+1)(a1+ak+1)

2

+a_k+1-

a1+ak+k(ak+1-ak)

2

=

(k+1)(a1+ak+1)

2

+ak+1+

(1-k)ak+1+kak-a1

2

∵（1-k）a_k+1+ka_k-a₁
=a₁（kq^k-1-（k-1）q^k-1）＜0，
∴S_k+1＜

(k+1)(a1+ak+1)

2

∴当n=k+1时，不等式也成立．
由数学归纳法知，当n≥3时，S_n＜

n(a1+an)

2

．

点评：本题考查不等式的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意数学归纳法的合理运用．