Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面是菱形，PA⊥底面ABCD，∠BAD=120°，E为PC上任意一点．
（1）求证：面BED⊥面PAC；
（2）若E是PC中点，AB=PA=a，求二面角E-CD-A的大小．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,平面与平面垂直的判定

专题：空间角

分析：（1）根据面面垂直的判定定理即可证明面BED⊥面PAC；
（2）根据二面角的平面角的定义，作出二面角的平面角，根据三角形的边角关系即可求二面角E-CD-A的大小．

解答： 解：（1）∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BD，
∵四棱锥P-ABCD的底面是菱形，
∴BD⊥AC，则BD⊥面PAC，
∵BD?面BED，∴面BED⊥面PAC；
（2）∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°，AB=PA=a，
∴△OCD是边长为a的正三角形，
过O作OF⊥CD于F，连结EF，
∵E是PC中点，
∴EO∥PA，
则EO⊥底面ABCD，
则∠EFO是二面角E-CD-A的平面角．
∵EO=

1

2

PA=

a

2

．BD=

3

a，
∴OF=

1

2

OD=

1

4

BD=

3 a

4

，
则tan∠EFO=

EO

OF

=

a 2

3 a 4

=

2 3

3

，
即∠EFO=arctan

2 3

3

．
则二面角E-CD-A的大小为arctan

2 3

3

．

点评：本题主要考查面面垂直的判定以及二面角的大小，求出二面角的平面角是解决本题的关键．