Question

已知函数f（x）=sin[ωπ（x+

1

3

）]的部分图象如图所示，其中P为函数图象的最高点，A，B是函数图象与x轴的相邻两个交点，若y轴不是函数f（x）图象的对称轴，且tan∠APB=

1

2

（1）求函数f（x）的解析式；
（2）已知角α、β、θ满足f（

2

π

α-

1

3

）•f（

2

π

β-

1

3

）=

2 2

3

且α+β=

3π

4

，tanθ=2，求

sin(θ+α)sin(θ+β)

cos2θ

的值、

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由tan∠APB=

1

2

列式求出周期，再由周期公式求出ω，则函数解析式可求；
（2）把

2

π

α-

1

3

，

2

π

β-

1

3

分别代入f（x），由f（

2

π

α-

1

3

）•f（

2

π

β-

1

3

）=

2 2

3

结合α+β=

3π

4

得到矛盾的式子，说明

sin(θ+α)sin(θ+β)

cos2θ

的值不存在．

解答： 解：（1）如图，
过P作PM⊥x轴，垂足是M，
则tan∠MPB=

3T 4

1

=

3T

4

，tan∠MPA=

T 4

1

=

T

4

．
∴tan∠APB=tan（∠MPB-∠MPA）=

tan∠MPB-tan∠MPA

1+tan∠MPB•tan∠MPA

=

3T 4 - T 4

1+ 3T 4 • T 4

=

1

2

，
解得：T=4或T=

4

3

．
∵f（x）=sin[ωπ（x+

1

3

）]=sin（ωπx+

1

3

ωπ），
∴

2π

ωπ

=4或

2π

ωπ

=

4

3

，得ω=

1

2

或ω=

3

2

．
∴f（x）=sin（

1

2

πx+

1

6

π）或f（x）=sin（

3

2

πx+

1

2

π）；
（2）当f（x）=sin（

1

2

πx+

1

6

π）时，
由f（

2

π

α-

1

3

）•f（

2

π

β-

1

3

）=

2 2

3

，得
sin[

1

2

π(

2

π

α-

1

3

)+

1

6π

]•sin[

1

2

π(

2

π

β-

1

3

)+

1

6

π]=

2 2

3

．
即sinα•sinβ=

2 2

3

，则-

1

2

[cos(α+β)-cos(α-β)]=

2 2

3

，
由α+β=

3π

4

，得：cos（α-β）=

5 2

6

＞1，矛盾；
当f（x）=sin（

3

2

πx+

1

2

π）时，
由f（

2

π

α-

1

3

）•f（

2

π

β-

1

3

）=

2 2

3

，得
sin[

3

2

π(

2

π

α-

1

3

)+

π

2

]•sin[

3

2

π(

2

π

β-

1

3

)+

π

2

]=

2 2

3

．
即sin3α•sin3β=

2 2

3

．则-

1

2

[cos3(α+β)-cos3(α-β)]=

2 2

3

．
由α+β=

3π

4

，得cos3（α-β）=

11 2

6

＞1，矛盾．
∴

sin(θ+α)sin(θ+β)

cos2θ

的值不存在．

点评：本题考查了由三角函数的部分图象求函数的解析式，考查了三角函数的求值，考查了三角函数的有界性，是中档题．