Question

2．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的两焦点为F₁，F₂，A，B分别是椭圆的左顶点和上顶点，若线段AB上存在点P，使PF₁⊥PF₂，则椭圆的离心率的取值范围为$[\frac{\sqrt{5}-1}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}]$．

Answer 1

分析 依题意，作图如下：A（-a，0），B（0，b），F₁（-c，0），F₂（c，0），直线AB的方程为：bx-ay+ab=0，设直线AB上的点P（x，y），则bx=ay-ab，由PF₁⊥PF₂，$\overrightarrow{P{F}_{1}}$$•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=x²+y²-c²=$（\frac{a}{b}y-a）^{2}$+y²-c²=f（y），令f′（y）=2$\frac{a}{b}$$（\frac{a}{b}y-a）$+2y=0，解得：y=$\frac{{a}^{2}b}{{a}^{2}+{b}^{2}}$，x=-$\frac{a{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$，满足$\overrightarrow{P{F}_{1}}$$•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，解得e=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，为最小值．当点P取B时，b=c，e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$取得最大值．即可得出．

解答 解：依题意，作图如下：
∵A（-a，0），B（0，b），F₁（-c，0），F₂（c，0），
∴直线AB的方程为：$\frac{x}{-a}$+$\frac{y}{b}$=1．整理得：bx-ay+ab=0，
设直线AB上的点P（x，y）
则bx=ay-ab，
∴x=$\frac{a}{b}$y-a，
∵PF₁⊥PF₂，
∴$\overrightarrow{P{F}_{1}}$$•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（-c-x，-y）•（c-x，-y）=x²+y²-c²
=$（\frac{a}{b}y-a）^{2}$+y²-c²=f（y），
令f′（y）=2$\frac{a}{b}$$（\frac{a}{b}y-a）$+2y=0，
∴由f′（y）=0得：y=$\frac{{a}^{2}b}{{a}^{2}+{b}^{2}}$，于是x=-$\frac{a{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$，
∴$\overrightarrow{P{F}_{1}}$$•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=$（-\frac{a{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}）^{2}+（\frac{{a}^{2}b}{{a}^{2}+{b}^{2}}）^{2}$-c²=0，
整理可得：$\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$=c²，又b²=a²-c²，e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$，
∴e⁴-3e²+1=0，
∴e²=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，又椭圆的离心率e∈（0，1），
∴e=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，为最小值．
当点P取B时，b=c，e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴椭圆的离心率的取值范围为$[\frac{\sqrt{5}-1}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}]$．
故答案为：$[\frac{\sqrt{5}-1}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}]$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、利用导数研究函数的单调性、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．